Контрольна робота № 2 Тема. Трикутники

1.° Доведіть рівність трикутників МВР 1 DBF (рис. 266), якщо MBF- = DBF, MFB= ∠DFB.

M

D

2.° Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 84 см, а бічна сторона на 18 см більша за основу.

F

Puc. 266

Варіант 1

3. На рисунку 267 DP=PE, DK=KE. Доведіть рівність кутів KDM i KEM.

89

M

P

E

D

K

4. На бічних сторонах АВ і ВС рівно- бедреного трикутника АВС позначили відповідно точки Е і F так, що АЕ CF. Доведіть, що ∠ACE = ∠CAF.

B

Puc. 267

5. Серединний перпендикуляр сторони АВ трикутника АВС перетинає його сторону АС у точці Д. Знайдіть периметр трикутника BDC, якщо АС-8 см, ВС =6 см.

Ответ:

1. Доведемо рівність трикутників MBF і DBF за кутовою-стороною-кутовою схожістю, оскільки MBF=DBF, MFB=∠DFB. З цього випливає, що трикутники MBF і DBF рівні.

2. Нехай основа рівнобедреного трикутника буде \(x\), а бічна сторона \(x+18\). За визначенням периметру: \(P = 2x + (x+18) = 84\). Розв'язавши рівняння, знайдемо значення \(x\) та визначимо сторони трикутника.

3. Доведемо рівність кутів KDM і KEM, використовуючи властивості паралельних ліній та взаємно доповнених кутів. Зокрема, \(\angle KDM = \angle PDM - \angle PDK\) і \(\angle KEM = \angle PEM - \angle PEK\), але також \( \angle PDM = \angle PEC\) і \(\angle PDK = \angle PEC\) (оскільки DP=PE, DK=KE). Отже, \(\angle KDM = \angle KEM\).

4. Доведемо, що \(\angle ACE = \angle ACF\), використовуючи властивості паралельних ліній та внутрішніх кутів трикутника.

5. Знайдемо довжину AD, використовуючи властивості серединного перпендикуляра. Далі знайдемо BD і DC за відомими сторонами та визначимо периметр трикутника BDC.