Объясните пожалуйста конструкции
To let/ make somebody do something
To make sb + Adj ( happy, sad , etc. )

to let somebody do something - позволить кому-либо сделать что-либо
to make somebody do something - заставлять кого-либо делать что-либо

Два этих случая относятся к разделу грамматики "сложное дополнение" и особенностью этих двух случаев является то, что после глаголов let и make нет частицы to. 

to make somebody sad, happy - сделать кого-либо грустным, счастливым
В этом случае, на мой взгляд, нюансов нет. Make употребляется в своем основном значении - делать, а в данном случае - делать кого-либо счастливым или грустным.