Найти объем цилиндра

диагональ призмы-диагональ осевого сечения цилиндра.
пусть призма АВСДА₁В₁С₁Д₁.
диагональ призмы АС₁=а, <С₁АА₁=β.
рассмотрим Δ АА₁С₁:
АА₁-бокоыое ребро призмы(т.к. она правильная , значит АА₁ перпендикуляр к А₁С₁), высота цилиндра, катет ΔАА₁С₁.
<С₁АА₁=β, АС₁=а - гипотенуза, <АА₁С₁=90, 
А₁С₁ -диагональ основания призмы, диаметр цилиндра, катет ΔАА₁С₁.
sinβ=A₁C₁/a, A₁C₁=a*sinβ, R=(a*sinβ)/2
cosβ=AA₁/a, AA₁=a*cosβ, H=a*cosβ
V=πR²H
V=π*(a*sinβ/2)² *a*cosβ
V=(a³ *π*sin²β*cosβ)/4