Предмет: Алгебра, автор: 321ychenik123

Помогите решить
6ctg^2x-2cos^2x=3

kalbim: корни "красивые" получаются?

kalbim: точно правильно записано уравнение (котангенс в квадрате и косинус в квадрате)?

321ychenik123: Да, точно правильно записано, но не получается решить

kalbim: у меня получаются очень некрасивые корни

kalbim: и нигде в уравнении нет двойного угла?

321ychenik123: можно посмотреть твое решение?

321ychenik123: не-а, нету

kalbim: ну, его пока оформленного нет :) буду уверенна в нем - выложу сюда.

321ychenik123: ладно, спасибо большое )

Ответы

Автор ответа: kalbim

$\frac{6cos^{2}x}{sin^{2}x}-2cos^{2}x=3$
$\frac{6cos^{2}x-2cos^{2}x*sin^{2}x}{sin^{2}x}=3$
$6cos^{2}x-2cos^{2}x*sin^{2}x=3sin^{2}x$
$6cos^{2}x-2cos^{2}x*sin^{2}x-3sin^{2}x=0$
$6*(1-sin^{2}x)-2*(1-sin^{2}x)*sin^{2}x-3sin^{2}x=0$
$6-6sin^{2}x-2sin^{2}x+2sin^{4}x-3sin^{2}x=0$
$2sin^{4}x-11sin^{2}x+6=0$

Замена: $sin^{2}x=t$ , t∈[0;1]

$2t^{2}-11t+6=0, D=121-4*6*2=73$
$t_{1}= \frac{11- \sqrt{73}}{4}$ - удовлетворяет условию замены
$t_{2}= \frac{11+ \sqrt{73}}{4}>1$ - не удовлетворяет условию замены (посторонний корень)

Вернемся к замене:
$sin^{2}x=\frac{11- \sqrt{73}}{4}$
1) $sinx=\frac{\sqrt{11- \sqrt{73}}}{2}$
$x=(-1)^{k}*arcsin(\frac{\sqrt{11- \sqrt{73}}}{2})+ \pi k$ , k∈Z
2) $sinx=-\frac{\sqrt{11- \sqrt{73}}}{2}$
$x=(-1)^{k+1}*arcsin(\frac{\sqrt{11- \sqrt{73}}}{2})+ \pi k$ , k∈Z

kalbim: как-то так получается. Крутила-вертела, больше не знаю как упростить. Несколькими способами приходила к такому же дискриминанту...

321ychenik123: Ладно, спасибо большое!!! Буду разбираться)

kalbim: а ответы к заданию есть?

321ychenik123: к сожалению нету