может ли кукушка жить в саду?

Почему бы и нет, если её никто не спугнёт. Заодно и остаток дней подскажет.

Кукушку можно встретить на северной окраине тайги, в лесах, в лесостепи, в степи, в разнообразных по составу зарослях по берегам стоячих или текучих водоемов, в парках и садах, по окраинам населенных пунктов, высоко (почти до 3000 м над уровнем моря) в горах и даже по окраинам пустынь.