"линза фокусное расстояние которой 15 см , дает на экране изображение предмета с пятикратным увеличением .экран передвинули вдоль главной оптической оси . затем передвинули предмет и получили четкое изображение с трехкратным увеличением . на какое расстояние передвинули предмет?"

а - расстояние от предмета до линзы,
в - расстояние от линзы до изображения.
Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается   Г (это заглавная греческая «гамма»):  Из подобия треугольников хода лучей Г=b/a.
Из подобия треугольников луча. идущего через фокус, получаем:
в = F + Г*F = F(1 + Г).
Тогда в₁ = 15*(1+5) = 15*6 = 90 см,
           в₂ = 15*(1+3) =  15*4 = 60 см.
А так как а = в / Г, то:
           а₁ = 90 / 5 = 18 см,
           а₂ = 60 / 3 = 20 см.
Предмет передвинули на 20 - 18 = 2 см.