В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

NKP - острый, значит MKP - тупой. В треугольнике только один угол может быть тупым, значит, MKP самый большой угол в треугольнике MKP => MP самая длинная сторона в треугольнике MKP

рассмт-MKP
углKMP-тупой
отсюда угл М-острый 
а против большего угла лежит большая сторона 
углMKP-стMP
углM-стKP
отсюда MPбольше KP