найдите наименьшее и наибольшее значение функциии f(x)=cosx-1/3cos3x на отрезке от 0 до П

1) найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

-sin x  +  sin 3х  = 0

2) найдем корни этого уравнения  -  это критические точки функции:

sin 3x  -  sin x  =  0

2 sin x  cos 2x  =  0

a) sin x = 0                 b) cos 2x = 0

     x = pi*n                        2x = pi/2  +  pi*k

                                           x = pi/4  + (pi/2)*k

3) найдем значения х, которые входят в заданный отрезок:

n = 0;      x = 0,  входит

n = 1;      x = pi,  входит

k = 0;      x = pi/4,  входит

k = 1;      x = pi/4 + pi/2 = (3pi)/4,  входит

при других значениях n и k значения х не входят в заданный отрезок

4) найдем значение функции в каждой из этих четырех точек (подставляем вместо х в САМУ функцию, а не в ее производную):

f(0) = 1  -  1/3  * 1  =  2/3

f(pi/4) = sqrt{2} / 2   -  1/3  * 0 =  sqrt{2} / 2

f(3pi/4) = - sqrt{2} / 2 - 1/3  * 0 = - sqrt{2} / 2

f(pi) =  -1 - 1/3 * 1 = -1  1/3     [ - 4/3]

5) ясно, что наименьшим значением функции будет минус одна целая одна третья.

     а вот для того чтобы найти наибольшее значение функции, надо сравнить числа 2/3 и     sqrt{2} / 2

приведем их к общему знаменателю и сраним числители:

4  и  3 * ( sqrt{2})

для это загоним под корень четверку и тройку:

sqrt{16}    и   sqrt{18}

так как 18 > 16, то и в итоге наибольшее значение функции  sqrt{2} / 2

Ответ: у(наим) = -1  1/3 при х = pi

            у(наиб) =  sqrt{2} / 2  при х = pi/4

Ответ:

Наименьшее значение функции f(3•π/4) = –1/2–√2/6

Наибольшее значение функции f(0) = 2/3

Пошаговое объяснение:

Стандартный алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции f(x) на отрезке [a; b] следующее:

1) находим критические точки функции, которые входят в заданный отрезок [a; b], то есть найдем производную функции f(x) и находим нули производной на отрезке [a; b] (решаем уравнение f (x)=0);

2) вычислим значения функции f(x) для критических точек из отрезка [a; b] и для граничных значений a и b;

3) ответом будут наименьшее и наибольшее значения среди полученных значений функции.

1) находим критические точки функции f(x)=cosx–1/3•cos3x:  

f'(x)=(cosx–1/3•cos3x)'= –sinx+sin3x

–sinx+sin3x=0

2•sinx•cos2x=0

a) sinx=0 или x=π•n, n∈Z

0 ≤ π•n ≤ π или n=0, 1, то есть x1=0 и x2=π;

b) cos2x=0 или 2x=π/2+π•k, k∈Z или x=π/4+π•k/2, k∈Z

0 ≤ π/4+π•k/2 ≤ π или –1/4 ≤ k/2 ≤ 3/4 или –1/2 ≤ k ≤ 3/2 или k=0, 1 или x3=π/4 и x4=3•π/4;

2) вычислим значения функции f(x) для критических точек x1=0, x2=π, x3=π/4 и x4=3•π/4 (граничные значения 0 и π находятся среди них):

f(0)= cos0–1/3•cos(3•0) = 1–1/3•1 = 2/3

f(π)= cosπ–1/3•cos(3•π) = –1–1/3•(–1) = –1+1/3 = –2/3

f(π/4) = cos(π/4)–1/3•cos(3•π/4) = √2/2–1/3•(–1/2) = 1/6+√2/2

f(3•π/4) = cos(3•π/4)–1/3•cos(9•π/4) = (–1/2)–1/3•cos(π/4) =

= –1/2–1/3•√2/2 = –1/2–√2/6

3) Для того чтобы найти наименьшее значение функции, нужно сравнить числа f(π)=–2/3 и f(3•π/4) =–1/2–√2/6:

f(π)–f(3•π/4) = –2/3–(–1/2–√2/6) = –2/3+1/2+√2/6 =  

= (–4+3+√2)/6 = (√2–1)/6 > (√1–1)/6 = 0/6 = 0,  

то есть f(π)>f(3•π/4) и наименьшее значение функции

f(3•π/4) = –1/2–√2/6.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции, нужно сравнить числа f(0)=2/3 и f(π/4) =1/6+√2/2:

f(0)–f(π/4) = 2/3–(1/6+√2/2) = 2/3–1/6–√2/2 = (4–1–√2)/6 =  

= (3–√2)/6 >(3–√4)/6 = (3–2)/6 = 1/6 > 0,

то есть f(0)>f(π/4) и наибольшее значение функции f(0) = 2/3.