Дан треугольник АВС со сторонами АВ=4, ВС=5 и АС=6. Доказать, что прямая. проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна
стороне ВС.

Расстояние от центра вписанной окружности до BC равно радиусу и равно S/p=2S/(4+5+6)=2S/15, где S - площадь АВС, а р - его полупериметр.
Расстояние от точки пересечения медиан до ВС равно h/3=2S/3BC=2S/15, где h - высота треугольника АВС, проведенная к стороне BC. Таким образом, эти расстояния равны. Значит прямая из условия параллельна BC.