200 БАЛЛОВ ЗА подробный ответ. Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r = 3t^2 i + 2tj + k. Определить: а) уравнение траектории частицы, б) скорость и ускорение частицы в момент времени t0 = 1 с, в) касательное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории R.

r = 3t² i + 2t j + k
x(t) = 3t²; y(t) = 2t; z(t) = 1
1) траектория плоская, т.к. z - постоянная, и точка движется в плоскости, параллельной координатной плоскости хОу.
Из y = 2t ---> t = 0.5y подставим в x(t)
x = 3·(0.5y)² =0.75 y²
Траектория x = 0.75y² или y = √(4x/3)
2) Проекции вектора скорости на оси
Vx(t) = x'(t) = 6t;  Vy(t) = y'(t) = 2; Vz = z'(t) = 0
В момент времени to = 1c
Vx = 6;  Vy = 2;
Модуль скорости V = √(Vx² + Vy²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10 ≈ 6,32
Скорость  V = 6.32
3) Проекции ускорения на оси
ax = Vx'(t) = 6;  ay = Vy'(t) = 0
Полное ускорение точки а = ах = 6
Касательное ускорение: аτ = (ах·Vx + ay·Vy)/V
аτ = (6·6 + 0·2)/6,32 = 36/6.32 = 5,69
Касательное ускорение аτ = 5,69
Нормальное ускорение an = √(a² - аτ²) = √(36 - 5,69²) = √3.6 ≈ 1.9
Нормальное ускорение an = 1.9
Радиус кривизны траектории
ρ = V²/an  = 6,32²/1,9 ≈ 38
Радиус кривизны ρ = 38