Доказать, что остаток от деления числа на простое нечётное р равен 1.

Если знаете про бином Ньютона, то можно так:

Где - биномиальный коэффициент. При всех k  кроме k=0 и k=p, числитель этого биномиального коэффциента делится на p, а знаменатель не делится, Т.к. p - простое, а само - целое, то p делит все слагаемые кроме крайних единиц. Значит остаток от деления 2^p на p равен 2. И поэтому остаток отделения равен 1.

  Если вам нужно "сухое" доказательство , то это Малая теорема Ферма ,  , у вас тут  , и оно не делится на  , откуда и следует утверждение задачи  
   
Если хотите более элементарное доказательство , можно это доказать при помощи Бинома Ньютона , или попробовать  представить просто число в виде . Но рассматривать частные случаи , что то не охота
 
Либо через группу Галуа , если это доказательство подойдет .  Если рассматривать уравнение вида  ,  то есть имеет вид  , то найдется такое число во множители что , будет делится на  , опять не для всех , а только для простого числа . А она следует из теорема Эйлера.