3 sin x - 4 cos x = 5 (метод вспомогательного угла)

Называеться, правильно, метод вспомогательного аргумента.

И так. Считаем:

sqrt(9+16)=sqrt(25)=5

5*sin(x-arcsin(4/5))=5

sin(x-arcsin(4/5)=0

x1-arcsin(4/5)=Pi*n; n e Z;

x2-arcsin(4/5)=Pi+Pi*n; n e Z;

x1=arcsin(4/5)+Pi*n; n e Z;

x2=Pi+arcsin(4/5)+Pi*n; n e Z

( (n e Z) - n принадлежит Z(рациональным числам))

(Pi - число Пи.)