Откуда это отношение? Объясните, пожалуйста!

Это следует из того, что в подобных треугольниках длины ВСЕХ соответствующих отрезков относятся одинаково. Т.е. если коэффициент подобия равен k, то отношения биссектрис, медиан, сторон, высот, радиусов вписанной и описанной окружности, и вообще всех линейных элементов одного треугольника к другому будет равно k. Вот это здесь и использовалось в отношении радиусов вписанных окружностей.

Можно так еще объяснить. Подобные треугольники это увеличенные или уменьшенные в k раз копии друг друга. Поэтому и радиусы и все другие части тоже увеличиваются или уменьшаются в k раз.