1. Найдите промежутки возрастания и убывания ф-ций и точки экстремума.

f (x) = x^4-2x^2-3

2. Исследуйте ф-ции и постройте её график.

y=x^3-4x^2+3

1/
f'(x)=4x³-4=4(x³-1)=4(x-1)(x²+x+1)    
 x²+x+1>0  так как D=1-4<0
производная меняет знак только в х=1. При х < 1 производная отрицательна ⇒ функция убывает, при х>1 - возрастает.
f'=0 ⇒x=1
минимум функции при х=1

2/
y=x³-4x²+3
x∈(-∞,∞)
y(0)=3
y(1)=1-4+3=0
y=(x-1)(x²+bx+c) приравнивая коэффициенты при х², х и своб.член имеем
x³-4x²+3=x³-x²+bx²-bx+cx-c ⇒ -c=3    c=-3
b-1=-4  b=-3
c-b=0  b=c=-3
y=(x-1)(x²-3x-3) x1=1,x2=(3+√21)/2≈3.8, x2=(3-√21)/2≈-0.8

области убывания-возрастания и критические точки
y'=3x²-8x=x(3x-8)
---------- 0 ------ 8/3 ----
  +             -             +
возрастает  х∈(-∞, 0)∨(8/3, ∞)   8/3≈2,67
убывает х∈(0, 8/3)
критические точки y'=0 ⇒ х=0 максимум =3
 х=8/3 минимум ≈(2,67)³-4(2,67)²+3≈19-28,5+3=-6,5
y'' = 6x-8      6x-8=0  x=8/6≈1.33

при х=4/3≈1,33 точка перегиба - функция меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз.

построение графика.

линия идет снизу, пересекает ось Х в точке х=-0,8, достигает максимума равного у=3 при х=0, идет вниз-убывает, пересекает ось Х при х=1, достигает минимума равного примерно -6,5 при х=8/3, идет вверх, пересекает ось при х≈3,8 и уходит в +∞