сумма семи различных натуральных слагаемых равна 40. Докажите, что у каких-нибудь из этих слагаемых есть общий делитель больший 1

Если у любой пары чисел НОД = 1, то они все взаимно простые.
Попробуем взять первые 7 простых чисел.
1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 42 > 40.
Если я вместо любого из этих чисел возьму меньшее, то это будут:
4, 6, 8, 9, 10, 12.
Любое из них дает НОД > 1 с каким-то из простых чисел.