По кругу стоят 17 ненулевых чисел. Оказалось, что сумма любых двух соседних чисел положительна. Какое наибольшее количество чисел могут быть отрицательны?

Ставим по кругу 17 чисел:
2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2
Сумма любых двух соседних равна или 2 - 1 = 1, или 2 + 2 = 4
Отрицательных чисел 8 штук.