Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие её с вершинами основания. Какую часть площади треугольника составляют каждая из 6-ти частей, на которые эти две прямые разделяют треугольники?

Дано:  ΔABC : AB=BC; BH⊥AC; BO=OH

Найти:  

ΔABC - равнобедренный, высота BH является медианой и биссектрисой

⇒   AH = HC  ⇒   ΔABH = ΔCBH - по двум катетам. Дальше можно рассматривать только одну половинку равнобедренного треугольника.

У треугольников  AOK и BOK  одинаковая высота  OM.  Поэтому их площади будут пропорциональны основаниям  AK и KB. Чтобы найти отношение АК:КВ, достроим треугольник ABH до прямоугольника ALBH. LB=AH;  AL=BH;   LB║AH;  AL║BH

∠AKL=∠OKB - вертикальные углы.

∠LAK=∠OBK - накрест лежащие углы при AL║BH и секущей АВ.  ⇒  

ΔAKL ~ ΔBKO  подобны по двум углам:

Ответ: площади двух треугольников при основании равны и составляют 1/4 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при вершине равны и составляют 1/12 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при боковых сторонах равны и  составляют 1/6 часть площади равнобедренного треугольника.