лыжи и лыжня это однокоренные слова

да это одно коренные слова) корень лыж вроде)

   Лыж-ня

Существительное, неодушевлённое, женский род, 1-е склонение Корень: Лыж 

Лы-жи

Существительное, неодушевлённое, женский род, 1-е склонение формы ед. ч. не используются.

Корень: -лыж-; окончание: -и.