Есть три кучки камней: в первой 51 камень, во второй - 49, а в третьей - 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а так же разделять кучку, состоящую из чётного числа камней, на две равные. Докажите, что нельзя получить 105 кучек по одному камню.

При сложении любых двух исходных кучек получится кучка с четным количеством, но останется третья кучка с нечетным.
При сложении всех кучек получится кучка с нечетным (105).
Таким образом, в любом случае будет существовать кучка с нечетным количеством, которую мы (по условию) не может разделить на две равные части.