Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы АB, равной 9см, отрезок AD = 4см. Докажите что треуг.ABC подобен треуг.ACD

Очень просто. 
Один из признаков подобия гласит, что треугольники подобны если 2 угла одного равны двум углам другого. 
В данном случе у нас угол АСВ = СDА = 90 градусов, а угол ВАС = DАС

Одно из свойств подобных треугольников гласит что отношение сторон лежащих против равных углов равны. 
В нашем случае 
АВ/ АС = АС/ AD , значит АС = sqrt ( АВ/ АD) = 3/2

Доказать что угол DCA = ABC легко, если два угла в треугольнике равны, то и их суммы равны. А сумма всех трех углов в треугольнике всегда 180 градусов. 180 - (1угол + 2 угол ) = 180 - (1 угол + 2 угол) соответственно Угол DCA = ABC.