Треугольники АВС и АDС расположены по одну сторону от прямой АС. Известно, что АВ=СD, АD = СВ, К - середина ВD. Докажите, что треугольник АКС - равнобедренный

Рассмотрим треугольники АВД и СВД. 
Они имеют равные стороны АД=СВ и АВ=СД - по условию и общую сторону ВД.
Следовательно, они равны по третьему признаку равенства треугольников.
АК - медиана треугольника АВД, СК - медиана треугольника ВСД.
 У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.) ⇒ 
АК=СК. 
Треугольник, у которого две стороны равны - равнобедренный, ч.т.д.