Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC. Точки M,P,K i E - середина отрезков АВ, ВС, СD и AD соответственно. МК = РЕ = 10 см. АС = 12 см. Найдите длину отрезка BD.

Cм. рисунок в приложении.  Два треугольника АDС и АВС имеют общую сторону АС.
ЕК- средняя линия треугольника ADC по построению
ЕК=АС/2=12/2=6 см
MP- средняя линия треугольника ABC по построению
MP=АС/2=12/2=6 см
Рассмотрим четырехугольник ЕКМР.
Диагонали четырехугольника равны, значит это прямоугольник. 
По теореме Пифагора 
МЕ=КР=√10²-6²=8 см

В треугольнике ВDС  средняя линия КР и она равна 8 см. Значит ВD = 16 cм

Вам даны ДИАГОНАЛИ МК и РЕ. О чем спор?Это просто ПРЯМОУГОЛЬНИК.

поэтому это квадрат. я все правильно написала. не понимаю зачем развели дискуссию

Для справки: у квадрата равны все стороны и диагонали. У Вас есть обоснование равенств диагоналей и равенство и параллельность двух противоположных сторон. На основании этих данных, утверждать что это квадрат нельзя.

Спасибо, исправила, не обратила внимание на 10 см.

Но Вам, Ольга, все равно спасибо.

Фигура ЕМРК - сечение треугольной пирамиды АDСВ плоскостью, проходящей через середины ребер этой пирамиды. Значит эта фигура лежит в одной плоскости и ее стороны попарно параллельны. Это - параллелограмм. Но МК=РЕ. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
ЕК - средняя линия треугольника АDС, параллельна АС и равна ее половине. ЕК=6см.Тогда из прямоугольного треугольника ЕРК по Пифагору находим катет РК:
РК=√(ЕР²-ЕК²)= √(100-36)=8см.
РК - средняя линия треугольника DBС, параллельна DB и равна ее половине. Значит BD=16см.
Ответ: DВ=16см.

Спасибо, я всё проанализировал и понял, что правы Вы, а не Нафаня.