Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды,если диагональное сечение пирамиды-прямоугольный треугольник , площадь которого равна 32 см квадратных.

Пусть основание пирамиды - квадрат ABCD (пирамида правильная), а O - вершина.

Так как треугольник AOC прямоугольный, его площадь

S = (AO*OC)/2 при этом АО = ОС = х  

S = x^2/2 откуда

x = sqrt(2*S) = sqrt(2*32) = 8 cм 

Гипотенуза треугольника АОС - диагональ квадрата основания АС = y

y = sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2*x^2) = x*sqrt(2)

отсюда стороны квадрата основания тоже будут равны 8 см

Высота треугольника АОD 

h = sqrt (x^2 + x^2/4) = x*sqrt(5)/4

Площадь боковой грани

S(g) = AD*h = x*x*sqrt(5) = 8*8*sqrt(5) = 64*sqrt(5)

Здесь sqrt - корень квадратный 

Первое решение почти верное.... небольшие поправки:

Высота треугольника АОD 

h = sqrt (x^2 - x^2/4) = x*sqrt(3)/2

(треугольник равносторонний с углами 60 градусов... высота = x * sin(60) = x*sqrt(3)/2)

Площадь боковой грани

(здесь забыто деление на 2 площади треугольника и деление на 2 из формулы высоты)

S(g) = AD*h / 2 = x*x*sqrt(3) / 4 = 8*8*sqrt(3) / 4 = 16*sqrt(3)