Докажите, что число (n 3 -n)- четное

Сначала докажем, что если n - будет чётным числом, то  выражение n³-n - также чётное число.
Чётное число - это 2k при любых значениях k. Подставим наше чётное число в выражение вместо n:

(2k)³-2k=8k³-2k - коэффициенты при k - чётные числа, значит и само значение выражения - чётное число.

Нечётное число - это 2k+1 при любых значениях k. Подставим наше число в выражение. Получим:
(2k+1)³-(2k+1)=(2k)³+3*(2k)²*1+3*2k*1²+1³ - 2k-1=8k³+12k²+6k+1-2k-1=

=8k³+12k²+4k -  коэффициенты при k - чётные числа, значит и само значение выражения - чётное число.