В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 6 серебряных и 2 медные;
2) за 7 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николы были только золотые монеты. После посещений обменного пункта золотых монет у него стало меньше, зато появилось 27 серебряных и 19 медных.
На сколько уменьшилось количество золотых монет?

Запишем кратко условия обмена:
1,  3з = 6с + 2м;
2.  7с = 3з + 1м
Если их просуммировать, то 1с = 3м, это значит, что если бы эти операции совершались одинаковое число раз, то число серебряных монет  было бы в три раза меньше медных, у нас же серебряных 27, а медных всего 19. Значит, количество обменов по операциям различно.(по первой больше!)
Пусть по первой проведено Х обменов, по второй У обменов.Тогда операции можно переписать в виде:
3зХ = 6сХ + 2мХ ---- получается 6Х серебряных, 2Х медных (из 3Х золотых)
7сУ = 3зУ + 1мУ ---- тратится 7У серебряных,  получается 1у медных (и 3У золотых)
Количество медных и серебряных монет дано в условии, поэтому можно записать систему:
{6Х - 7У = 27 (серебряных монет);
{2Х + У = 19 ( медных монет); 
найдем из второго, что  У = 19 - 2Х и подставим в первое:
6Х - 7(19 - 2Х) = 27;   6Х - 133 + 14Х = 27;   20Х = 160 ;  Х = 8 (обменов);
У = 19 - 2Х = 19 - 2*8 = 3 (обмена)
Мы получили 8 обменов по первой и 3 обмена по второй операции.
По первой  мы тратили каждый раз по 3 золотые монеты, а по второй - получали. Каждый обмен по 3 золотые монеты.
8 *3 - 3*3 = 24 - 9 = 15 (монет) ---- потрачено золотых монет!
Ответ: количество золотых монет уменьшилось на 15.
Проверка:
{8*3з = 8*6с + 8*2м
{3*7с = 3*3з + 3*1м
24з - 21с = 48с + 9з + 16м + 3м;    (24з - 9з) = (48с - 21с) + (16м + 3м);
15з = 27с + 19м, что соответствует условию!

А почему в начале, когда мы суммируем, к 2м медным прибавляем одну медную, а из 7и серебряных вычитаем 6 серебряных?

Систему составляем исходя из условия: не 2 медных, а 2Х медных, полученных в результате Х обменов по первой операции  к 1у,  полученный в результате У обменов по второй: так мы их и получили 19 штук. А для серебряных: мы получили 6Х в результате Х числа проведенных первых операций и потратили 7У, меняя У раз по второй операции. И в результате - их осталось 27  

Если речь о написанном курсивом в начале. то это как раз и объяснение, что если бы то серебро, что получали по первой тут же меняли по второй, не соблюли бы условие, что серебряных больше. чем медных. Поэтому и ДАЛЕЕ идет решение