На доске выписаны в порядке возрастания все пятизначные числа, в записи которых используются пять последовательных цифр. Какое число идет после 69875?

Цифры после 6 идут в порядке убывания. Это значит, что  это наибольшее из чисел, которые содержат 56789 и начинаются с 6. Следовательно следующим будет число, начинающееся на 7.
Наименьшее из таких чисел, с учетом условия задачи, — 73456. Оно и идет после 69875.