Зачетная работа по геометрии 8 класс по теме: "Декартовы координаты на плоскости".
А (0;1)
В (-2;0)
М (3;3)
Ответы
1. Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Модуль вектора (его длина) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.
|AB|=√((-2)²+((-1)²) = √5 ед.
2. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответсятвующих координат начала и конца этого отрезка.
Xc=(Xa+Xb)/2 = (0-2)/2 = -1.
Yc=(Ya+Yb)/2 = (1+0)/2 = 0,5.
C(-1;0,5)
3. Уравнение окружности: (X-Xц)²+(Y-Yц)²=R².
В нашем случае: центр А(0;1), R=|AB|=√5. Уравнение окружности:
X²+(Y-1)²=5.
4. Чтобы найти координаты точек пересечения данной окружности с осями координат, надо в уравнение окружности подставить значения
Y=0 и X=0 и решить получившееся уравнение:
X²+(0-1)²=5. => X1=2, X2= -2.
0 +(Y²-2Y+1)=5 => Y1=1+√5≈ 3,24, Y2=1-√5≈ -1,24.
Точки пересечения:
с осью Х: D(2;0) и B(-2;0).
с осью Y: G(0;3,24) и H(0;-1,24)
5. Уравнение прямой АМ:
Каноническое: (X-Xa)/(Xm-Xa)=(Y-Ya)/(Ym-Ya) или
X/3=(Y-1)/2 => общее уравнение: 2X-3Y+3=0 =>
уравнение с угловым коэффициентом: y=(2/3)*X+1.
6. Точки пересечения E и F с осями координат (по п.4):
3Y=3 => Ye=1. 2X+3=0 => Xf=-3/2 = -1,5.
Точки пересечения прямой АМ с осями координат:
E(0;1) и F(-1,5;0).
7. Модуль вектора MC (его длина):
|MC|= √(Xc-Xm)²+(Yc-Ym)²) = √(-1-3)²+(0,5-3)²) =√(16+6,25).
|MC|≈ 4,72 ед.
8. Уравнение прямой МС:
(X-Xm)/(Xc-Xm)=(Y-Ym)/(Yc-Ym) => (X-3)/(-4)=(Y-3)/-2,5) =>
2,5X-4Y+4,5=0 => 5X-8Y+9=0.
Точки пересечения прямой МС и окружности X²+(Y-1)²=5 найдем,
решив систему уравнений:
X²+Y²-2Y=4 (1) и 5X-8Y+9=0 (2).
Y=(5/8)X+(9/8). Подставим это значение в (1):
X²+((5/8)X+9/8)²-(10/8)X-18/8 = 4 или
(64/64)X²+(25/64)X²+(90/64)X+81/64-(80/64)X-144/64=256/64 =>
89X²+10X-319=0 =>
X1=(-5+√(25+28391)/89 ≈ 1,8. => Y1≈2,25.
X2=(-5-√(25+28391)/89 ≈-1,9. => Y1≈-0,1.
Искомые точки:
P(1,8;2,25) и Q(-1,9;-0,1)
