В остроугольном треугольнике АВС точки А, С, центр описанной окружности О и точка пересечения высот Н лежат на одной окружности. Докажите что угол АВС равен 60

Условие, что O и H лежат на одной окружности с точками A и С, означает, что в этой окружности углы AOB и AHС - вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. То есть они равны.
Дальше все проще простого.
∠AOС = 2*∠ABC (это связь между центральным и вписанным углами, на этот раз - в окружности, описанной вокруг ABC).
∠HAC = 90° - ∠BCA; ∠HCA = 90° - ∠BAC; => ∠AHC = 180° - (90° - ∠BCA) - (90° - ∠BAC) = ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC;
То есть 2*∠ABC = 180° - ∠ABC;
∠ACB = 60°;