Предмет: Алгебра,
автор: Аноним
номер 334 пожалуйста
Приложения:
Ответы
Автор ответа:
0
Найти наибольший член в разложении бинома 
Разложение бинома можно записать в виде:
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).
Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
![dfrac{x(k)}{x(k-1)} = dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} =
\
=dfrac{ frac{n!}{k!(n-k)!} }{ frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } =
\
=dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{n-k+1 }{ k }](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bx%28k%29%7D%7Bx%28k-1%29%7D+%3D+dfrac%7BC_n%5E%7Bk%7Da%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7BC_n%5E%7Bk-1%7Da%5E%7Bn-%28k-1%29%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+dfrac%7BC_n%5E%7Bk%7D%7D%7BC_n%5E%7Bk-1%7D%7D+cdot+dfrac%7Ba%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7Ba%5E%7Bn-%28k-1%29%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+%0A%5C%0A%3Ddfrac%7B+frac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D+%7D%7B+frac%7Bn%21%7D%7B%28k-1%29%21%28n-%28k-1%29%29%21%7D+%7D+cdot+dfrac%7Ba%5E%7Bn-k%7Db%5E%7Bk%7D%7D%7Ba%5E%7Bn-k%2B1%7Db%5E%7Bk-1%7D%7D+%3D+%0Adfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7B%28k-1%29%21%28n-k%2B1%29%21+%7D%7B+k%21%28n-k%29%21+%7D+%3D+%0A%5C%0A%3Ddfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7B%28k-1%29%21%28n-k%2B1%29%28n-k%29%21+%7D%7B+k%28k-1%29%21%28n-k%29%21+%7D+%3D+%0Adfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+cdot+dfrac%7Bn-k%2B1+%7D%7B+k+%7D+ "dfrac{x(k)}{x(k-1)} = dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} =
\
=dfrac{ frac{n!}{k!(n-k)!} }{ frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } cdot dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } =
\
=dfrac{b}{a} cdot dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } =
dfrac{b}{a} cdot dfrac{n-k+1 }{ k }")
По условию:
; 
; 
. Тогда:
Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
![k textless dfrac{42(2-sqrt{10})}{(2+sqrt{10})(2-sqrt{10}) }
\
k textless dfrac{84-42sqrt{10}}{4-10} \ k textless - dfrac{84-42sqrt{10}}{6} \ k textless - (14-7sqrt{10}) \ k textless 7sqrt{10}-14 ( sqrt{10} approx3.16Rightarrow 7sqrt{10}-14 approx8.12) \ k textless 8.12](https://tex.z-dn.net/?f=k+++textless++dfrac%7B42%282-sqrt%7B10%7D%29%7D%7B%282%2Bsqrt%7B10%7D%29%282-sqrt%7B10%7D%29+%7D+%0A%5C%0Ak++textless++dfrac%7B84-42sqrt%7B10%7D%7D%7B4-10%7D+%5C+k++textless++-+dfrac%7B84-42sqrt%7B10%7D%7D%7B6%7D+%5C+k++textless++-+%2814-7sqrt%7B10%7D%29+%5C+k++textless++7sqrt%7B10%7D-14++%28+sqrt%7B10%7D+approx3.16Rightarrow+7sqrt%7B10%7D-14+approx8.12%29+%5C+k+textless++8.12 "k textless dfrac{42(2-sqrt{10})}{(2+sqrt{10})(2-sqrt{10}) }
\
k textless dfrac{84-42sqrt{10}}{4-10} \ k textless - dfrac{84-42sqrt{10}}{6} \ k textless - (14-7sqrt{10}) \ k textless 7sqrt{10}-14 ( sqrt{10} approx3.16Rightarrow 7sqrt{10}-14 approx8.12) \ k textless 8.12")
Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
![x_{max}=C_{20}^8( sqrt{5} )^{20-8}cdot( sqrt{2} )^8= frac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8} cdot( sqrt{5} )^{12}cdot( sqrt{2} )^8=
\
= 19cdot17cdot15cdot2cdot13 cdot5^6cdot2^4=
19cdot17cdot13 cdot5^7cdot3cdot2^5=31492500000](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bmax%7D%3DC_%7B20%7D%5E8%28+sqrt%7B5%7D+%29%5E%7B20-8%7Dcdot%28+sqrt%7B2%7D+%29%5E8%3D+frac%7B20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13%7D%7B1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8%7D+cdot%28+sqrt%7B5%7D+%29%5E%7B12%7Dcdot%28+sqrt%7B2%7D+%29%5E8%3D%0A%5C%0A%3D+19cdot17cdot15cdot2cdot13+cdot5%5E6cdot2%5E4%3D%0A+19cdot17cdot13+cdot5%5E7cdot3cdot2%5E5%3D31492500000 "x_{max}=C_{20}^8( sqrt{5} )^{20-8}cdot( sqrt{2} )^8= frac{20cdot19cdot18cdot17cdot16cdot15cdot14cdot13}{1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8} cdot( sqrt{5} )^{12}cdot( sqrt{2} )^8=
\
= 19cdot17cdot15cdot2cdot13 cdot5^6cdot2^4=
19cdot17cdot13 cdot5^7cdot3cdot2^5=31492500000")
Ответ: 31492500000
Разложение бинома можно записать в виде:
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).
Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
По условию:
Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
Ответ: 31492500000
Интересные вопросы
Предмет: Математика,
автор: wwwmatvei2746
Предмет: Геометрия,
автор: pqpqpqppqroeoeooe09
Предмет: Математика,
автор: dkkrjrjdhdhdj
Предмет: Математика,
автор: iaaslan
Предмет: Алгебра,
автор: sophia02