Предмет: Алгебра, автор: zax1s8amiibigg

подскажите как сравнивать корни?

Ответы

Автор ответа: xERISx

Как сравнивать корни?

1. Самая простая ситуация, когда один корень оказался числом отрицательным, а другой - положительным. Такое возможно, когда один из корней нечётной степени, и под корнем стоит отрицательное число, а другой корень любой степени, но под ним стоит неотрицательное число.

Примеры

Сравнить $sqrt[3]{-5}$ и $sqrt{2}$ .

$sqrt[3]{-5} = - sqrt[3]{5} textless 0; sqrt{2} textgreater 0$

Отрицательное число всегда меньше положительного

$sqrt[3]{-5} textless sqrt{2}$

Пример извлекаемых корней

$sqrt[4]{16} =2 textgreater sqrt[3]{-27} =-3$

2. Для остальных случаев правило простое. Нужно возвести оба корня в такую одинаковую степень, чтобы избавиться от обоих корней. Необходимо только обязательно помнить о том, что корень чётной степени всегда неотрицательный, а корень нечётной степени может иметь любой знак в зависимости от знака выражения под корнем.

Примеры:

Сравнить $sqrt[4]{8}$ и $sqrt[4]{18}$

$Big( sqrt[4]{8}Big)^4=8 textless 18=Big( sqrt[4]{18} Big)^4~~~Rightarrow~~~sqrt[4]{8} textless sqrt[4]{18}$

-----------------------

Сравнить $sqrt[5]{-3}$ и $sqrt[5]{-7}$

$Big( sqrt[5]{-3}Big)^5 =-3 textgreater -7=Big( sqrt[5]{-7} Big)^5~~~~Rightarrow~~~~sqrt[5]{-3} textgreater sqrt[5]{-7}$

-----------------------

Сравнить $sqrt[3]{2}$ и $sqrt[7]{2}$

Наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21, поэтому возводить корни следует в степень 21

$Big(sqrt[3]{2}Big)^{21}=Big(Big( sqrt[3]{2} Big)^3Big)^7=2^7=128 \ \ Big( sqrt[7]{2} Big)^{21}=Big(Big( sqrt[7]{2} Big)^7Big)^3=2^3=8$

128 > 8 ⇒ $sqrt[3]{2} textgreater sqrt[7]{2}$

-----------------------

Сравнить $sqrt[3]{-2}$ и $sqrt[7]{-2}$

$Big(sqrt[3]{-2}Big)^{21}=Big(Big( sqrt[3]{-2} Big)^3Big)^7=Big(-2Big)^7=-128 \ \ Big( sqrt[7]{-2} Big)^{21}=Big(Big( sqrt[7]{-2} Big)^7Big)^3=(-2)^3=-8$

-128 < -8 ⇒ $sqrt[3]{-2} textless sqrt[7]{-2}$

-------------------------

Сравнить $sqrt[15]{2}$ и $sqrt[20]{3}$

Наименьшее общее кратное чисел 15 и 20 равно 60, поэтому возводить оба корня следует в 60 степень

$Big( sqrt[15]{2} Big)^{60}=Big(Big( sqrt[15]{2} Big)^{15}Big)^4=2^4=16 \ \ Big( sqrt[20]{3} Big)^{60}=Big(Big( sqrt[20]{3} Big)^{20}Big)^3=3^3=27$

16 < 27 ⇒ $sqrt[15]{2} textless sqrt[20]{3}$

--------------------------

Сравнить $sqrt{ frac{1}{3} }$ и $sqrt[3]{ frac{1}{2} }$

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, поэтому корни нужно возводить в степень 6.

$(sqrt{ frac{1}{3}}Big)^6=Big(Big( sqrt{ frac{1}{3} } Big)^2Big)^3=Big( frac{1}{3} Big)^3= dfrac{1}{27} \ \ Big(sqrt[3]{ frac{1}{2} } Big)^6=Big(Big( sqrt[3]{frac{1}{2} } Big)^3Big)^2=Big( frac{1}{2} Big)^2= dfrac{1}{4}$

$dfrac{1}{27} textless dfrac{1}{4}$ ⇒ $sqrt{ dfrac{1}{3} } textless sqrt[3]{ dfrac{1}{2} }$

-------------------------

Сравнить $sqrt[3]{-0,1}$ и $sqrt[5]{-0,01}$

$Big( sqrt[3]{-0,1} Big)^{15}=Big(Big( sqrt[3]{-0,1} Big)^3Big)^5=(-0,1)^5=-0,00001 \ \ Big(sqrt[5]{-0,01} Big)^{15}=Big(Big( sqrt[5]{-0,01} Big)^5Big)^3=(-0,01)^3=-0,000001$