окружность вписанная в треугольник ABC касается его сторон AB и AC соответственно в точках M и N. докажите, что BN>MN

Пусть h - высота проведенная к AC и r - радиус вписанной окружности.
1) MN≤2r, т.к. хорда всегда не превосходит диаметр.
2) По формуле S=pr получим (AB+BC+AC)·r=AC·h, откуда h=((AB+BC)/AC+1)·r>2r, т.к. по неравенству треугольника AB+BC>AC.
3) BN≥h, т.к. гипотенуза больше катета.
Итак, BN≥h>2r≥MN.

отлично! только в п.2) можно проще- т.к. ВN всегда больше либо равно высоте, а высота всегда больше диаметра вписанной окружности.

формальное доказательство не помешает

естественно, и я только за.