∫arctg 3xdx

∫arctg(3x)dx

Сделаем замену

u=arctg(3x)   du=3/(1+(3x)^2)dx=3/(1+9*x^2)dx

dv=dx v=x

Тогда

∫arctg(3x)=x*arctg(3x)- ∫3x/(1+9*x^2)dx

Для того чтобы взять

∫3x/(1+9x^2)dx,

сделаем еще замену

t=1+9*x^2    dt=18xdx

xdx=dt/18

тогда

∫3x/(1+9x^2)dx=3*(1/18) ∫(1/t)dt = (1/6)*ln|t| +c = (1/6)*ln|1+9*x^2| +c

То есть в целом

∫arctg(3x)=x*arctg(3x)- (1/6)*ln|1+9*x^2| +c