Предмет: Алгебра, автор: Аноним

Помогите решить уравнение (я не понимаю, что делать с ОДЗ):
2tgx - 3ctgx = 1.

Ответы

Автор ответа: Artem112

$2mathrm{tg}x - 3mathrm{ctg}x = 1$
ОДЗ:
Для тангенса, так как это отношение синуса к косинусу, необходимо потребовать выполнение следующего условия:
$cos x neq 0Rightarrow x neq frac{ pi }{2} + pi n, nin Z$
Аналогично, для котангенса - отношения косинуса к синусу:
$sin x neq 0Rightarrow x neq pi n, nin Z$
Получившиеся два условия можно объединить в одно следующим образом:
$x neq frac{ pi m}{2} , min Z$
Решаем уравнение:
$2mathrm{tg}x - 3mathrm{ctg}x = 1 \ 2mathrm{tg}x - frac{3}{mathrm{tg}x} = 1$
Можно домножить на tgx, так как тангенс достигает значения 0 в точках, не принадлежащих ОДЗ:
$2mathrm{tg}^2x - 3= mathrm{tg}x \ 2mathrm{tg}^2x -mathrm{tg}x- 3= 0 \ D=(-1)^2-4cdot2cdot(-3)=1+24=25 \ mathrm{tg}x_1= frac{1+5}{2cdot2} = frac{3}{2} Rightarrow x_1=mathrm{arctg} frac{3}{2} + pi n, nin Z \ mathrm{tg}x_2= frac{1-5}{2cdot2} = -1 Rightarrow x_2=- frac{ pi }{4} + pi n, nin Z$
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $mathrm{arctg} frac{3}{2} + pi n$ и $- frac{ pi }{4} + pi n$ , где n - целые числа