Доказать что уравнение 

1/x² + 1/xy +1/y² =1 

имеет решение в целых положительных числах.

Ну-ну. Оно НЕ имеет решений  в натуральных числах.

Домножим обе части равенства на x^2*y^2. Получим

y^2+xy+y^2=x^2y^2

(x+y)^2=xy(xy+1)

Если x,y - натуральные, то нужно, чтобы xy(xy+1) было точным квадратом. Но НОД(xy,xy+1)=1, поэтому нужно, чтобы и xy, и xy+1 были точными квадратами. А такого в натуральных числах не бывает.

P.S. А в целых бывает. Единственное (с точностью до перестановки x и у) решение уравнения в целых числах - (-1, 1).