Предмет: Алгебра,
автор: Lenyaaaaa5
Найти наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной
y=cos^2x-sinx
Ответы
Автор ответа:
0
Поведем некоторые преобразования.
![displaystyle cos^2x-sin x=(1-sin^2x)-sin x=-(sin^2x+sin x-1)= \
-left{left[sin^2x+2cdot frac{1}{2}cdotsin x+left( frac{1}{2}right)^2right]- left( frac{1}{2}right)^2-1right}= \ \
frac{5}{4} -left(sin x+ frac{1}{2}right)^2=1.25-(sin x+0.5)^2](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+cos%5E2x-sin+x%3D%281-sin%5E2x%29-sin+x%3D-%28sin%5E2x%2Bsin+x-1%29%3D+%5C+%0A-left%7Bleft%5Bsin%5E2x%2B2cdot+frac%7B1%7D%7B2%7Dcdotsin+x%2Bleft%28+frac%7B1%7D%7B2%7Dright%29%5E2right%5D-+left%28+frac%7B1%7D%7B2%7Dright%29%5E2-1right%7D%3D+%5C++%5C+%0Afrac%7B5%7D%7B4%7D+-left%28sin+x%2B+frac%7B1%7D%7B2%7Dright%29%5E2%3D1.25-%28sin+x%2B0.5%29%5E2 "displaystyle cos^2x-sin x=(1-sin^2x)-sin x=-(sin^2x+sin x-1)= \
-left{left[sin^2x+2cdot frac{1}{2}cdotsin x+left( frac{1}{2}right)^2right]- left( frac{1}{2}right)^2-1right}= \ \
frac{5}{4} -left(sin x+ frac{1}{2}right)^2=1.25-(sin x+0.5)^2")
Рассмотрим, в каких пределах может изменяться величина f=(sin x+0.5)².
Мы знаем, что синус может меняться в пределах от -1 до 1.
Максимальное значение f=2.25 достигается при sin x = 1
При этом значение y будет минимальным и составит 1.25-2.25 = -1.
Максимальное значение у можно получить, если вычесть из 1.25 что-то отрицательное или положительное, но как можно меньшей величины. f - это квадрат некоторого выражения и отрицательным он быть не может. Но при sin x=-0.5 получаем f=0 и y=1.25
Ответ: y ∈ [-1;1.25]
Рассмотрим, в каких пределах может изменяться величина f=(sin x+0.5)².
Мы знаем, что синус может меняться в пределах от -1 до 1.
Максимальное значение f=2.25 достигается при sin x = 1
При этом значение y будет минимальным и составит 1.25-2.25 = -1.
Максимальное значение у можно получить, если вычесть из 1.25 что-то отрицательное или положительное, но как можно меньшей величины. f - это квадрат некоторого выражения и отрицательным он быть не может. Но при sin x=-0.5 получаем f=0 и y=1.25
Ответ: y ∈ [-1;1.25]
Автор ответа:
0
y=cos²x-sinx=1-sin²x-sinx=1-(sin²x+sinx+1/4)+1/4=5/4-(sinx+1/2)²
sinx=-1/2⇒x=(-1)^(n+1)*π/6+πn,n∈z⇒y=5/4-(-1/2+1/2)²=5/4
sinx∈[-1;1]
sinx+1/2∈[-1/2;3/2]
(sinx+1/2)∈[1/4;9/4]
5/4-(sinx+1/2)²∈[-1;1]
Ответ у наиб=5/4 ;унаим=-1
sinx=-1/2⇒x=(-1)^(n+1)*π/6+πn,n∈z⇒y=5/4-(-1/2+1/2)²=5/4
sinx∈[-1;1]
sinx+1/2∈[-1/2;3/2]
(sinx+1/2)∈[1/4;9/4]
5/4-(sinx+1/2)²∈[-1;1]
Ответ у наиб=5/4 ;унаим=-1
Интересные вопросы
Предмет: Геометрия,
автор: nonsme6373838
Предмет: Математика,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: V3f36
Предмет: Химия,
автор: laracrines
Предмет: Математика,
автор: Джулиетта03