Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6? Объясните почему.

Можно. 
Всего 800 чисел. По 4 числа на пару = 200 пар.

1 пара: 1 + 2 + 799 + 800 = 1602.
1602 : 6 = 267.

2 пара: 3 + 4 + 797 + 798 = 1602.
1602 : 6 = 267.

...

200 пара: 
399 + 400 + 401 + 402 = 1602.
1602 : 6 = 267.