Какой долг у Гамлета перед его отцом

отомстить за смерть батька

Ну по сюжету - наказать убийц отца. 

Хотя есть и такая версия, что во времена Средневековья тень почиталась порождением Сатаны. Таким образом получается, что Гамлет последовал советам Дьявола. И отсюда - месть его не является проявлением справедливости, а лишь неправедным, греховным деянием. Что косвенно и подтверждается автором, который не посчитал для себя возможным сохранить жизнь главному герою...