МНОГО БАЛЛОВ ДАМ ЗА РЕШЕНИЕ ЭТОЙ ЗАДАЧИ)
Дано: ABCD - параллелограмм, AN-биссектриса ∠BAD, BM-биссектриса ∠ABC.
Доказать: ABNM-параллелограмм

∠АМВ=∠МВN как накрест лежащие при параллельных АМ и ВN и секущей ВМ. ВМ - биссектриса, значит ∠МВN=∠АВМ.
В тр-ке АВМ ∠АМВ=∠АВМ, значит он равнобедренный с равными сторонами АВ и АМ.
∠MAN=∠ANB как накрест лежащие при параллельных АМ и ВN и секущей АN. AN - биссектриса, значит ∠MAN=∠NAB.
В тр-ке АNB ∠ANB=∠NAB, значит он равнобедренный. АВ=ВN.
AM=AB=BN.
AM║BN, AM=BN, значит АВ║MN, значит ABMN - параллелограмм.
Доказано.

Более того, так как диагонали АN и ВМ - биссектрисы, то АВNM - ромб.