х(х+1)(х+2)(х+3)+(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=24

Выносим общий множитель за скобку:
(х+1)(х+2)(х+3)(х+х+4)=24
(х+1)(х+3)·(х+2)²=12
(х²+4х+3)(х²+4х+4)=12
х²+4х+4=t
(t-1)t=12
t²-t-12=0
t1=4, t2=-3
Т.е.:
 х²+4х+4=4, откуда х1=0, х2=-4 и
 х²+4х+4=-3, откуда  х²+4х+7=0, D/4=4-7<0,
т.е. действительных корней нет.
Ответ: x∈{-4;0}.