3(^2n+1) + 1 делится на 4
Доказать

Применим здесь метод математической индукции.
1) При n=1 имеем: 
3^(2*1+1)+1=28
28 делится на 4

что и требовалось доказать...вместо n можно подставить любое число и оно будет делиться на 4

Не соглашусь с предыдущим ответом. На доказательство не тянет, так как кратность результата при n=1 может быть совпадением. Однако, про мат. индукцию верно, но не все так просто))

Итак: доказываем, что кратно 4.
Пусть при n=k, верно, что  делится на 4. То есть
 при некотором целом m.
Докажем, что при n=k+1 наше исходное выражение тоже делится на 4.
Исходное выражение превращается в

Теперь выразим из нашего предыдущего утверждения . Получается

Подставим его в выражение
Получаем 9(4m-1)+1 = 36m-9+1 = 36m-8
Оба слагаемых в конечном результате делятся на 4, из чего можем сделать вывод, что вся сумма тоже делится на 4, а значит выражение тоже делится на 4.

Метод довольно сложен для восприятия. Если записать его пошагово на бумаге, то можно разобраться. Удачи!