Предмет: Математика,
автор: dfvjf111
помогите пожалуйста вычислить предел... ОЧЕНЬ СРОЧНО
lim(ln(e+x))^ctgx
x→0
Ответы
Автор ответа:
0
Ну вот так можно:
![lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)=e^{ln lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)}=e^{ lim_{x to 0} ln [ln^{ctgx}(e+x)]}= \ =e^{lim_{x to 0}ctgxln[ln(e+x)]}=e^{lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }](https://tex.z-dn.net/?f=+lim_%7Bx+to+0%7D+ln%5E%7Bctgx%7D++%28e%2Bx%29%3De%5E%7Bln+lim_%7Bx+to+0%7D+ln%5E%7Bctgx%7D++%28e%2Bx%29%7D%3De%5E%7B+lim_%7Bx+to+0%7D+ln+%5Bln%5E%7Bctgx%7D%28e%2Bx%29%5D%7D%3D+%5C+%3De%5E%7Blim_%7Bx+to+0%7Dctgxln%5Bln%28e%2Bx%29%5D%7D%3De%5E%7Blim_%7Bx+to+0%7D+frac%7Bln%5Bln%28e%2Bx%29%5D%7D%7Btgx%7D+%7D "lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)=e^{ln lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)}=e^{ lim_{x to 0} ln [ln^{ctgx}(e+x)]}= \ =e^{lim_{x to 0}ctgxln[ln(e+x)]}=e^{lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }")
Теперь находим получившийся в показателе степени предел с помощью правила Лопиталя:
![{lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }={lim_{x to 0} frac{(ln[ln(e+x)])'}{(tgx)'} }={lim_{x to 0} frac{ frac{1}{(e+x)ln(e+x)} }{ frac{1}{cos^2x} } }= \ = lim_{x to 0} frac{cos^2x}{(e+x)ln(e+x)} = frac{1}{e}](https://tex.z-dn.net/?f=%7Blim_%7Bx+to+0%7D+frac%7Bln%5Bln%28e%2Bx%29%5D%7D%7Btgx%7D+%7D%3D%7Blim_%7Bx+to+0%7D+frac%7B%28ln%5Bln%28e%2Bx%29%5D%29%27%7D%7B%28tgx%29%27%7D+%7D%3D%7Blim_%7Bx+to+0%7D+frac%7B+frac%7B1%7D%7B%28e%2Bx%29ln%28e%2Bx%29%7D+%7D%7B+frac%7B1%7D%7Bcos%5E2x%7D+%7D+%7D%3D++%5C+%3D++lim_%7Bx+to+0%7D+frac%7Bcos%5E2x%7D%7B%28e%2Bx%29ln%28e%2Bx%29%7D+%3D+frac%7B1%7D%7Be%7D+ "{lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }={lim_{x to 0} frac{(ln[ln(e+x)])'}{(tgx)'} }={lim_{x to 0} frac{ frac{1}{(e+x)ln(e+x)} }{ frac{1}{cos^2x} } }= \ = lim_{x to 0} frac{cos^2x}{(e+x)ln(e+x)} = frac{1}{e}")
Значит исходный предел равен
Теперь находим получившийся в показателе степени предел с помощью правила Лопиталя:
Значит исходный предел равен
Интересные вопросы
Предмет: Алгебра,
автор: Polinka098
Предмет: Геометрия,
автор: linaaksenova05
Предмет: Русский язык,
автор: BROTHERHELLO
Предмет: Математика,
автор: evashusharina