Докажите, что отношение площади квадрата, вписанного в окружность, до площади квадрата, описанного вокруг окружности, равна 1:2.

Диагоналями вписанного квадрата являются диаметры окружности:

S вписан.квадрата = D^(2):2 (используем формулу площади ромба)

Стороны описанного квадрата равны диаметру окружности:

Sописан.квадрата = D^(2)

(D^(2):2)/D^(2)=1/2

Обозначим сторону квадрата буквой а.

Тогда радиус окружности  вписанной в квадрат равна а/2.

Значит её площадь S1 = пи*r^2 = пи* (а/2)^2 = пи* a^2/4.

Теперь найдём радиус окружности описанной около квадрата.

Он равен половине диагонали квадрата R=a*sqrt 2/2.

Площадь окружности, описанной около квадрата S2 = пи*R^2= пи*(a*sqrt 2/2)= пи*a^2/2.

Найдём отношение площади квадрата, вписанного в окружность к площади квадрата описанного около окружности:

S1 : S2 = (пи* a^2/4) : (пи*a^2/2) = 2:4 = 1:2

Что и требовалось доказать