10/(x+1) + log1/3(x-1) + log1/4(x) >= 0

ОДЗ: x>1.

Функция y=10/(x+1) задает гиперболу, на ОДЗ мы имеем часть правой ветви гиперболы, так что эта функция убывает на множестве x>1.

Вторая и третья функции, входящие в наше неравенство - логарифмические с основанием  < 1⇒ они убывают. Сумма трех убывающих функций является функцией убывающей. При x=4 неравенство превращается в равенство (2-1-1=0), поэтому слева от x=4 левая часть неравенства положительна, а справа - отрицательна.

Ответ: (1;4]

Замечание. Монотонность функции можно проверять с помощью производной