Что означают эти устойчивые выражения с названиями животных? Можно ли их разбить на группы по какому-то признаку? Медвежья услуга, газетная утка, акула пера, белая ворона, мартышкин труд.

Это фразеологизмы, они означают насмешку в какой нибудь ситуации. Медвежья услуга и окула пера и газетная утка это все связано с ложью а белая ворона и мартышкин труд это связано с чем то необычным 

услуга, влекущая за собой неприятные последствия
информацмя в прессе (лживая), расчиианная на резонанс ( т.е. на бурную реакцию читателей)
успешный, читаемый писатель или журналист
неординарная личность
бессмысленный труд

можно: первая группа по приизнаку характеристики человека, вторая группа характеристика действий чел.