Cреди утверждений «У Димы больше тысячи книг», «У Димы меньше тысячи
книг», «У Димы есть хоть одна книга» ровно одно верное. Сколько книг может быть у Димы?

Рассмотрим первое высказывание. Если оно ложно - у Димы больше тысячи книг - то второе высказывание истинно. Если же второе ложно, то первое истинно - у Димы действительно меньше тысячи книг, а именно - ни одной. Итого: два варианта решения: либо больше тысячи, либо ни одной.