в остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке H. Известно что BH=1 и угол AHC=105. найдите радиус окружности описанной около треугольника ABC.

Треугольники АА1С и СС1А - прямоугольные с общей гипотенузой АС.Существует возможность вписать Четырехугольник АС1А1С в окружность, диаметром которой будет АС. Так как вписанные углы С1А1А ис1СА опираются на общую дугу АС1, то эти углы равны. Ч.Т.Д.

Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. 
В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2. 

Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку 
∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒
∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,
а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.

Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒
R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)=
1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2

Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт