Доказать неравенство : tgA*tgB<1, если A и B  -  острые углы тупоугольного треугольника

Доказательство: A и B  -  острые углы тупоугольного треугольника, значит угол С тупой и

0<A<90,0<B<90,90<C<180 и

cos C<0,cos A>0,cos B>0 (*)

 tgA*tgB<1 равносильно неравенству

tgA*tgB-1<0

Рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы

tg x=sin xcos x

cos (A+B)= cosA*cosB- sinAsinB

cos(180-A)=-cos A

и соотношение углов треугольника A+B+C=180 и учитывая (*):

tgA*tgB-1=sinAcos A*sin Bcos B-1=(sinAsinB-cosA*cosB)(cos A*cos B)=

=-cos(A+B)(cos A*cos B)=cos(180-(A+B))(cos A*cos B)=cos C(cos A*cos B)<0,

А значит tgA*tgB-1<0, или tgA*tgB<1, что и требовалось доказать.