В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между ребром AA1 и
плоскостью AB1D1

Распишите доказательство подробно, пожалуйста, с чертежом.

Примем ребро куба равным 1.
Искомый угол будет между ребром АА1 и его проекцией на плоскость АВ1Д1.
Эта проекция лежит на отрезке АК, где К - середина диагонали В1Д1.
Имеем прямоугольный треугольник АА1К,
А1К = (1/2)*√2 = √2/2.
АК = √((АА1)²+(А1К)²) = √(1+(2/4)) =√(6/4) = √6/2.
Косинус угла КАА1 равен:
cos(AA1K) = AA1/AK =1/(√6/2) = 2/√6 = √6/3.

Ответ: косинус угла между ребром AA1 и плоскостью AB1D1 равен √6/3.