для каких значений а имеет корень уравнения sinx=a²-a+1

Синус аргумента принадлежит отрезку [-1; 1]. Составим двойное неравенство:
-1 ≤ a² - a + 1 ≤ 1
-2 ≤ a² - a ≤ 0
Теперь система:
a² - a ≥ -2
a² - a ≤ 0

a² - a + 2 ≥ 0
a(a - 1) ≤ 0

Разложим первое неравенствo:
D = 1 - 8 < 0 => нет корней и неравенство верно при любых a.

Теперь решим второе неравенство:
0 /////////////1
---•-------------•----------> а
0 ≤ а ≤ 1.