Построить с помощью ПЕРЕГИБАНИЯ вписанный в данную окружность треугольник, если известно положение одной из его вершин и середина одной из сторон.

Может быть так...точка М- середина хорды, значит центр окружности и т.М лежат на одной прямой. Согнуть по линии 1. Согнуть по линии 2, так, чтобы линия 2была перпендикулярна линии1. Тем самым определяем точки ВиС. Ну согнуть по линии 3, а затем по линии 4.

А можно ли как-то это доказать геометрически?

Я думаю так: 1 линия: точки ОиМ определяют единственную прямую. 2 линия: если радиус делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. 3 линия: через две точки АиВ проходит единственная прямая. 4линия: точки АиС определяют единственную прямую.